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Extremstelle berechnen - Ableitung gleich 0 setzen

Schüler Gymnasium,

Tags: Ableitung, Extremwertaufgabe, Null setzen, Nullstellen, pq-Formel

ritoromun aktiv_icon

18:28 Uhr, 11.07.2013

Hallo!
Ich muss die Extremstellen folgender Funktion ausrechnen:

f (x) = - x^{4} + 6 x^{2}

Davon wuerde ich zunächst die erste Ableitung machen:

f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x

Und jetzt kommt mein Problem. Ich muesste

f' (x)

doch jetzt eigentlich gleich Null setzen und in die pq-Formel einsetzen, um die Nullstellen auszurechnen, aber wie?
Habe versucht die Ableitung auszuklammern, damit sie in die Form der pq-Formel passt, aber das hat mir auch nicht wirklich weiter geholfen:

f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x

f' (x) = x (- 4 x^{2} + 12)

Was ist q?

q

kann doch nicht einfach nur Null sein, oder? Ich blick nicht durch.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Ma-Ma aktiv_icon

18:36 Uhr, 11.07.2013

Warum sollte

q

oder

p

nicht Null sein dürfen ?

- - - - - - - - - - - - - - - - -

Mit dem 2. Weg (Ausklammern von

x)

geht´s jedoch noch einfacher.
Wenn ein Faktor Null, so ist das Produkt Null.

1.Faktor:

x = 0

2.Faktor:

- 4 x^{2} + 12 = 0

Hier musst Du nun noch etwas rechnen

. .

ritoromun aktiv_icon

18:50 Uhr, 11.07.2013

Wie komme ich den von

x = 0

auf die Formel

- 4 x^{2} + 12 = 0

? Der Vorgang ist mir nicht ganz klar - wenn ich in der Ausklammerung

x = 0

setze, kommt doch 0 heraus?

Und wie wuerde ich von

- 4 x^{2} + 12 = 0

in die pq-Formel kommen? Was ist

p,

was ist q?

Ma-Ma aktiv_icon

19:00 Uhr, 11.07.2013

Nochmal einen kleinen Schritt zurück.
Du hast ganz richtig ausgeklammert. Jetzt

f' (x) = 0

0 = x \cdot (- 4 x^{2} + 12)

0 = a \cdot b

Das funktioniert, wenn

a = 0

oder

b = 0

0 = 0 \cdot b

0 = a \cdot 0

Bis dahin verständlich ?

1. Term ist

x,

den setzen wir Null und das Produkt wird Null.
2. Term ist

(- 4 x^{2} + 12),

den setzen wir Null und das Produkt ist auch wieder Null.

Somit haben wir schon den ersten x-Wert ermittelt.

x_{1} = 0

- - - - - - - - - - - - - - -

Nun zum 2. Term.

0 = - 4 x^{2} + 12

Das geht ganz ohne pq-Formel.

4 x^{2} = 12

... ...

.
Mach mal weiter.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Wenn fertig, dann mache wir es nochmal etwas umständlicher mit der pq-Formel.

ritoromun aktiv_icon

19:09 Uhr, 11.07.2013

Ah, jetzt wird mir das schon ein bisschen klarer. Danke schonmal!

4 x^{2} = 12

x^{2} = 3

x = \sqrt{3}

Also wäre

x_{1} = 0

und

x_{2} = \sqrt{3}

Ma-Ma aktiv_icon

19:14 Uhr, 11.07.2013

Fast richtig !

x^{2} = 3

x = \pm \sqrt{3}

Probe:

\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3

- \sqrt{3} \cdot - \sqrt{3} = 3

- - - - - - - - - - - - - - - - -

Jetzt zur pq-Formel.

0 = - 4 x^{2} + 12

0 = x^{2} + p x + q

1)

Vor

x^{2}

muss der Faktor 1 stehen, also durch

- 4

dividieren.

2)

In diesem Fall ist

p = 0

.

Nun probier mal

...

ritoromun aktiv_icon

20:00 Uhr, 11.07.2013

0 = - 4 x^{2} + 12

0 = x^{2} - 3

pq-Formel:

x_{1,2} = 0 \pm \sqrt{0 + 3}

x_{1,2} = \pm \sqrt{3}

x_{1} = \sqrt{3}

x_{2} = - \sqrt{3}

Ma-Ma aktiv_icon

20:17 Uhr, 11.07.2013

Passt doch ! Alles prima !
LG Ma-Ma

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