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Umformungen der geometrischen Reihe

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Ableitung, Folgen und Reihen, Geometrische Reihe, Grenzwert

anonymous

09:22 Uhr, 08.04.2013

Hey,
in meiner Aufgabe soll ich den Wert einer Reihe berechnen. Dies ist, soweit ich weiß, nur mit Hilfe einer Form der geometrischen Reihe möglich, da von anderen Reihen kein bekannter Grenzwert existiert.

Meine erste Frage nun: macht es einen Unterschied, ob ich als Indizé 0 oder eine andere Zahl habe? Bei den normalen Ableitungen der geometrischen Reihe ergibt sich das ja automatisch, da der erste Summand gleich Null wird. Damit ist es doch egal, ob ich mit n=0 oder n=1 anfange, oder?

Meine zweite Frage: Die erste Ableitung lautet ja :

\sum_{k = 0}^{\infty} n q^{n - 1}

die zweite dann:

\sum_{k = 0}^{\infty} (n^{2} - n) q^{n - 2}

.

Da ist es doch bestimmt nicht egal, was vor dem

q^{n}

q^{n - 1}

oder

q^{n - 2}

steht. Wann ist in Mathe schließlich schon mal was egal? Aber welche Rolle spielt es? Und wenn die Form meiner Reihe nicht damit übereinstimmt, wie kann ich das anpassen?

Wenn ich zum Beispiel

\sum_{n = 3}^{\infty} (n - 2) (3 x)^{n - 1}

habe - darf ich dann einfach die 1. Ableitung der geometrischen Reihe verwenden, um den Grenzwert zu berechnen?
Und muss ich den Indizé verändern? Denn für n=0 und n=1 werden die Summanden nicht 0.

Und als letzte Frage: Darf ich immer mit q erweitern? Ich vermute ja, dass das mit der Frage nach dem n zusammenhängt, denn eines von beiden muss ja mindestens stimmen. Und das andere passe ich dann an, oder wie?

Und da wir das auch in den Übungen angewendet haben, wird man es ja manchmal dürfen. Aber warum darf ich mit q erweitern? Welche Auswirkungen hat das auf meine Reihe?

Ich hoffe, das sind keine blöden Fragen - ich würde es einfach gerne verstehen.

Liebe Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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\frac{\infty}{\infty}

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mafi02 aktiv_icon

20:06 Uhr, 08.04.2013

Hallo Kathi,

Frage 1:Generell macht es einen Unterschied mit welchem Indize die gegebene Reihe startet. Allerdings hast du Recht, dass bei der Ableitung der geometrischen Reihe n=0 oder n=1 sein kann.

Frage 2:Ja es ist nicht egal was vor dem

q^{n}

steht, zumindest nicht wenn man den Wert einer Reihe mithilfe der geometrischen Reihe berechnen will. Letztendlich läuft es darauf hinaus den Wert der Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} n \cdot q^{n - 1}

zu berechnen, indem du

\sum_{n = 0}^{\infty} q^{n} = \frac{1}{1 - q}

nach q ableitest, denn es gilt ja (falls die Reihe glm. konvergiert)

{(\sum_{n = 0}^{\infty} q^{n})}^{ʹ} = \sum_{n = 1}^{\infty} n \cdot q^{n - 1} .

Dein Beispiel kannst du nun einfach umformen:

\sum_{n = 3}^{\infty} (n - 2) (3 x)^{n - 1} = 3 \cdot \sum_{n = 3}^{\infty} n \cdot x^{n - 1} - 6 \cdot \sum_{n = 3}^{\infty} x^{n - 1}

und dies lässt sich durch obige Vorbemerkung und Indizeverschiebung berechnen.

Frage 3: In welchem Zusammenhang willst du mit q erweitern?

Gruß mafi

Edit:Fehler in der Umformung der Reihe(Danke für den Hinweis). Für die richtige Lösung siehe Bummerangs Beitrag.

Bummerang

09:39 Uhr, 09.04.2013

Hallo,

1. Deine Summen

\sum_{k = 0}^{\infty} (n \cdot q^{n - 1})

und

\sum_{k = 0}^{\infty} ((n^{2} - n) \cdot q^{n - 2})

sind nur für

q = 0

(unter einer beliebigen Definition für

0^{0}),

für

n = 0

und die zweite Reihe auch für

n = 1

konvergente Reihen, da die Summanden allesamt Konstant sind. Der Laufindex

k

findet sich nicht in den Summanden wieder!

2. Deine Summen sind nicht die entsprechenden Ableitungen der Reihe

\sum_{k = 0}^{\infty} (q^{k})!

Die beiden Ableitungen lauten:

\sum_{k = 1}^{\infty} (k \cdot q^{k - 1}) = \sum_{k = 0}^{\infty} ((k + 1) \cdot q^{k})

bzw.

\sum_{k = 2}^{\infty} ((k^{2} - k) \cdot q^{k - 2}) = \sum_{k = 1}^{\infty} ((k^{2} + k) \cdot q^{k - 1}) = \sum_{k = 0}^{\infty} ((k^{2} + 3 \cdot k + 2) \cdot q^{k})

3. Die Umformungen der Reihe

\sum_{n = 3}^{\infty} ((n - 2) \cdot {(3 \cdot x)}^{n - 1})

von mafi02 ist ebenfalls nicht korrekt!

a)

Man kann nicht einfach wie mafi02 schreibt umformen,

d . h

. die Reihe in zwei Teilreihen auftrennen, jedenfalls nicht ohne den Hinweis auf notwendige absolute Konvergenz und dass diese hier erfüllt ist!

b)

Wenn man die Sache mit der absoluten Konvergenz geklärt hat, sollte man aber auch richtig auflösen!

\sum_{n = 3}^{\infty} ((n - 2) \cdot {(3 \cdot x)}^{n - 1}) = \sum_{n = 3}^{\infty} (n \cdot {(3 \cdot x)}^{n - 1}) - 2 \cdot \sum_{n = 3}^{\infty} ({(3 \cdot x)}^{n - 1})

Ganz offensichtlich sind bei mafi02 die Potenzen der 3 verlorengegangen!

Außerdem sollte man an dieser Stelle bei der ersten Reihe nicht mit einer Indexverschiebung fortfahren, denn die Summanden entsprechen bereits der vorgegebenen Form!

\sum_{n = 3}^{\infty} ((n - 2) \cdot {(3 \cdot x)}^{n - 1}) = \sum_{n = 3}^{\infty} (n \cdot {(3 \cdot x)}^{n - 1}) - 2 \cdot \sum_{n = 2}^{\infty} ({(3 \cdot x)}^{n})

Der nächste Schritt wäre die Ergänzung der Reihen bei gleichzeitigem Abzug der zusätzlichen Summanden

\sum_{n = 3}^{\infty} ((n - 2) \cdot {(3 \cdot x)}^{n - 1})

= \sum_{n = 1}^{\infty} (n \cdot {(3 \cdot x)}^{n - 1}) - 1 \cdot {(3 \cdot x)}^{1 - 1} - 2 \cdot {(3 \cdot x)}^{2 - 1} - 2 \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} ({(3 \cdot x)}^{n}) + 2 \cdot {(3 \cdot x)}^{0} + 2 \cdot {(3 \cdot x)}^{1}

= \sum_{n = 1}^{\infty} (n \cdot {(3 \cdot x)}^{n - 1}) - 1 - 6 \cdot x - 2 \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} ({(3 \cdot x)}^{n}) + 2 + 6 \cdot x

= \sum_{n = 1}^{\infty} (n \cdot {(3 \cdot x)}^{n - 1}) - 2 \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} ({(3 \cdot x)}^{n}) + 1

= (\frac{1}{1 - 3 \cdot x})' - 2 \cdot \frac{1}{1 - 3 \cdot x} + 1

= - \frac{- 3}{{(1 - 3 \cdot x)}^{2}} - \frac{2}{1 - 3 \cdot x} + 1

= \frac{3}{{(1 - 3 \cdot x)}^{2}} - \frac{2 \cdot (1 - 3 \cdot x)}{{(1 - 3 \cdot x)}^{2}} + \frac{{(1 - 3 \cdot x)}^{2}}{{(1 - 3 \cdot x)}^{2}}

= \frac{3}{{(1 - 3 \cdot x)}^{2}} - \frac{2 - 6 \cdot x}{{(1 - 3 \cdot x)}^{2}} + \frac{1 - 6 \cdot x + 9 \cdot x^{2}}{{(1 - 3 \cdot x)}^{2}}

= \frac{3 - 2 + 6 \cdot x + 1 - 6 \cdot x + 9 \cdot x^{2}}{{(1 - 3 \cdot x)}^{2}}

= \frac{2 + 9 \cdot x^{2}}{{(1 - 3 \cdot x)}^{2}}

Konvergenz nur für

| 3 \cdot x | < 1 \Leftrightarrow | x | < \frac{1}{3}

Den letzten Quotienten kann man bei Bedarf auch gerne noch umformen,

z . B

. so

= \frac{3 + 9 \cdot x^{2} - 1}{{(1 - 3 \cdot x)}^{2}}

= \frac{3}{{(1 - 3 \cdot x)}^{2}} + \frac{9 \cdot x^{2} - 1}{{(1 - 3 \cdot x)}^{2}}

= \frac{3}{{(1 - 3 \cdot x)}^{2}} - \frac{1 - 9 \cdot x^{2}}{{(1 - 3 \cdot x)}^{2}}

= \frac{3}{{(1 - 3 \cdot x)}^{2}} - \frac{(1 + 3 \cdot x) \cdot (1 - 3 \cdot x)}{{(1 - 3 \cdot x)}^{2}}

= \frac{3}{{(1 - 3 \cdot x)}^{2}} - \frac{1 + 3 \cdot x}{1 - 3 \cdot x}

und wenn man will

z . B

. auch noch so

= \frac{3}{{(1 - 3 \cdot x)}^{2}} - \frac{2 + 3 \cdot x - 1}{1 - 3 \cdot x}

= \frac{3}{{(1 - 3 \cdot x)}^{2}} - \frac{2}{1 - 3 \cdot x} - \frac{3 \cdot x - 1}{1 - 3 \cdot x}

= \frac{3}{{(1 - 3 \cdot x)}^{2}} - \frac{2}{1 - 3 \cdot x} + \frac{1 - 3 \cdot x}{1 - 3 \cdot x}

= \frac{3}{{(1 - 3 \cdot x)}^{2}} - \frac{2}{1 - 3 \cdot x} + 1

Die letztere Form hätte

z . B

. den Vorteil, dass es sich dabei um ein quadratisches Polynom in

\frac{1}{1 - 3 \cdot x}

handelt.

= \frac{3}{{(1 - 3 \cdot x)}^{2}} - \frac{2}{{(1 - 3 \cdot x)}^{1}} + \frac{1}{{(1 - 3 \cdot x)}^{0}}

1086583

1086323

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