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Wendetangente einer Funktionenschar

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Äquivalenzumformung, Differentialrechnung, Ganzrationale Funktionen, Tangente, Wendepunkt

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16:29 Uhr, 17.06.2009

Es geht um folgendes Problem.
Eine Funktionenschar

f (x) = x^{3} - t \cdot x^{2} + 1

ist gegeben.
Die Frage ist, für welchen Wert von

t

die Tangente des Wendepunkts am Schaubild von

f

durch den Ursprung läuft.

Mein Ansatz ist bisher folgender:

Wendepunkt bestimmen:

f'' (x) = 0

0 = 6 x - 2 t

t 3 = x

Nun ist ja die erste Ableitung von

f

an der Stelle

t 3

die Steigung der gesuchten Wendetangente.

Nun habe ich mich der Punkt-Steigungs-Form bedient, als Steigung eben diese erste Ableitung und als Punkt den den Wendepunkt

\frac{t}{3}

und die Funktion mit

x = \frac{t}{3}

eingesetzt.

Dabei kommt heraus:

f (x) - y 1 = m (x - x 1) (x 1

ist die gegebene Stelle,

x

die Funktionsvariable)
Nach dem Einsetzen sieht es natürlich super aus...

y - \frac{t}{3} - t {(\frac{t}{3})}^{2} + 1 = 3 {(\frac{t}{3})}^{2} - 2 t \cdot \frac{t}{3} (x - \frac{t}{3})

Jetzt für

x

und

y

null einsetzen (sie soll ja durch den Ursprung gehen) und nach

t

auflösen:

\frac{t}{3} - t {(\frac{t}{3})}^{2} + 1 = 3 \cdot {(\frac{t}{3})}^{2} - 2 t \cdot \frac{t}{3} \cdot (- \frac{t}{3})

An alle die bis hierhin gelesen haben schon einmal herzlichen Dank.

Nun also zum Problem:
Ich stecke bei der Gleichung völlig fest. Ich habe die 9. Klasse übersprungen und bin beim Umformen sehr ungeübt.
Momentan sieht es bei mir so aus:

\frac{\frac{1}{6} + t}{- t} = 2 \cdot {(\frac{t}{3})}^{7}

Wenn mir also beim Umformen jemand weiterhelfen könnte wäre das super, falls ich schon vorher etwas falsch gemacht habe, natürlich auch laut schreien ;-)

Grüße, Jurek

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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Astor aktiv_icon

20:56 Uhr, 17.06.2009

Hallo,
also die Wendestelle liegt bei

x_{w} = \frac{t}{3}

Soweit ist alles klar.
Der Wendepunkt hat dann die Koordinaten:

x_{w} = \frac{t}{3}; y_{w} = (\frac{t}{3})^{3} - t * (\frac{t}{3})^{2} + 1

Also:

y_{w} = - \frac{2 * t^{3}}{27} + 1

Die Wendetangente hat die Gleichung: t

y = m x + b

; wobei für m gilt:

m = f ʹ (\frac{t}{3}) = - \frac{t^{2}}{3}

Somit:

y = - \frac{t^{2}}{3} * x + b

Auf dieser Tangente liegt der Wendepunkt und der Ursprung.
Setzt man die Koordinaten des Wendepunktes in die Tangentengleichung ein, so erhält man den Wert für den y-Achsenabschnitt b. Dieser Wert hängt von dem Parameter t ab. Nun wählt man den Wert für t so, dass b den Wert Null erhält.

Ich habe dann für t den Wert "t=-3" berechnet.
Gruß Astor

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21:38 Uhr, 17.06.2009

Super!
Laut der Lösung ist das richtig.
Inzwischen war ich auch darauf gekommen dass ich für

y

noch ein Polynom berechnen muss, wusste aber nicht wie, da kam dann immer

y = 1

raus.
Herzlichen Dank und einen schönen Abend noch.
Grüße, Jurek

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