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herleitung des differenzenquotienten
Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe
Tags: Ableitung, Differentialquotient, Differenzenquotient, Epsilon, Folgen, Grenzwert, Herleitung, Mathematik
 
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1. Wie kann man aus dem Grenzwert einer Folge heraus den Differenzenquotienten herleiten?
also der Differenzenquotient ist bei der Ableitung ja irgendwie ein Grenzwert, dessen term . so aussieht . warum ist es ein grenzwert?): den grenzwert einer folge haben wir definiert als: heißt grenzwert der Folge genau dann, wenn in jeder epsilon-Umgebung von unendlich viele Folgenglieder liegen, außerhalb jedoch nur endlich viele. Also müsste ja bei der ableitung irgendwie immer ein grenzwert gebildet werden. Vielleicht jeweils für die x-koordinaten und jeweils für die y-koordinaten? Müsste man dann irgendwie eine epsilon-Umgebung um und um legen oder so? Ok ich weiß nicht weiter... Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff) Ableitung (Mathematischer Grundbegriff) Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff) Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff) Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff) Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige Grenzwerte Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Extrema / Terrassenpunkte Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen Grenzwerte im Unendlichen Ableiten mit der h-Methode Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Extrema / Terrassenpunkte Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen |
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Du hast die Formel für die Ableitung an der Stelle x bzw. in dem Punkt P(x;f(x)) falsch hin- geschrieben - sie lautet dabei ist der Term im limes der Differenzen- quotient, dieser gibt die Steigung der Sekante durch die Punkte P(x;f(x)) und Q(a;f(a)) wieder; man dividiert diesen Ausdruck aus - für f(x)=x^2 ergibt sich x+a hier macht man dann den Grenzübergang a gegen x indem man a=x in den Term x+a einsetzt: x+a=x+x=2x. Siehe hierzu die Beiträge zu den beiden Fragen von vanessak. aus dem Differenzenquotienten bildet man den Grenzwert nicht umgekehrt; man erhält meistens eine Grenzwertfunktion z.B. 2x für die Funktion x^2. Die Grenzwertbegriffe epsilon-umgebung brauchst hier in aller Regel nicht. Die Vorgehens- weise ist meistens dieselbe: man stellt den Differenzenquotienten auf, dividiert den nenner heraus und erhält in der Regel eine Funktion, die die Steigung der Sekante dar- stellt- mit dieser Funktion macht man einen Grenzübergang in dem ich für das a das x einsetze, diese Funktion ist dann die Ableitungsfunktion, unter der Vorraussetzung, dass die funktion differenzierbar ist.
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oh, dass ich das falsch geschrieben habe,hab ich nicht gemerkt, sry bzw. danke
wie man den limes ausrechnet weiß ich aber eigentlich auch... mir geht es eher um die theoretische idee, wie man von der definition eines grenzwertes einer folge "x0 heißt grenzwert der Folge <xn> genau dann, wenn in jeder epsilon-Umgebung von unendlich viele Folgenglieder liegen, außerhalb jedoch nur endlich viele." zu einer ableitung kommt... |
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Der Grenzwert einer stetigen Funktion ist . Die Definition des Grenzwertes brauchst du beim Ableiten normalerweise nicht. Der Grenzwert der Sekantenfolge ist die Tangente und der Grenzwert der Sekantensteigungen ist die Tangentensteigung - vorausgesetzt dieser existiert.
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