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Abstand eines angewinkelten Kreisen zur Ebene
Universität / Fachhochschule
Körper
Funktionen
Algebraische Topologie
Tags: Algebraische Topologie, Cosinus, Cosinusfunktion, Funktion, Körper, Kreis, Schnitt, Schnittpunkt, Sinus, Sinusfunktion, Tangens, Tangensfunktion
 
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Hallo Zusammen, Ich habe zwei Kreise, welche koinzident auf der Grundebene aufliegen. Einer der Kreise wird um X° um die X-Achse angewinkelt und der Kreis um Y° um die Y-Achse. Diese werden sich überschneiden auf dieser Schneidkante wird ein Ebene(E) projiziert. Auf der Grundebene liegt ein gleichseitiges Dreieck.Es wird jeweils an den Eckpunktendes Dreieckes eine Linie(A,B,C) bis zu generierten Ebene(E) gezogen. Nun Müss ich die Länge der Linien heraus finden(A,B,C). Im Anhang ist eine Visualisierung der Aufgabe angehängt. Bester bisheriger Versuch: Lösung zur Kontrolle: ° ° die Werte habe ich mittels Programm heraus gemessen. Weitere Lösungswege, welche nicht funktionierten. Sonstige Information: Veranschaulichung wozu die Formel gebraucht wird findet man als GIF im Anhang: Ein Joystick mit 2 Achsen Angaben(X,Y), muss so umgewandelt werden das mit 3 Zylinder welche in 120° Winkel gleichmässig angebracht sind eine Platte richtig positionieren.   Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff) Tangens (Mathematischer Grundbegriff) Rechenregeln Trigonometrie Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Sinus (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige trigonometrische Werte Additionstheoreme Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff) Kreis (Mathematischer Grundbegriff) Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff) Schnittpunkte bestimmen Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Definition von Sinus, Kosinus und Tangens Einführung Funktionen Grundbegriffe der ebenen Geometrie Kreis und Mittelsenkrechte Kreis: Umfang und Flächeninhalt Kreise und Lagebeziehungen Lagebeziehung Ebene - Ebene Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform) Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform) Lagebeziehung Gerade - Gerade Definition von Sinus, Kosinus und Tangens Einführung Funktionen Grundbegriffe der ebenen Geometrie Kreis und Mittelsenkrechte Kreis: Umfang und Flächeninhalt Kreise und Lagebeziehungen Lagebeziehung Ebene - Ebene Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform) Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform) |
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Es würde helfen, wenn Du Dein Problem in der Sprache der Geometrie fassen würdest. Koordinaten Ursprung, Kreis Mittelpunkt Radius, Drehung um Achse oder Punkt, Winkel, Ebene (Punkte, Richtung, Normalen Vektor), Schneiden, Schnittgerade... Übertrage Deine Aufgabenstellung nach GeoGebra.org. Aus Deiner Visualisierung kann viel vermuten und raten.. |
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Hallo, Nach langer Arbeit und ohne vorwissen zu GeoGebra habe ich mein Problem dargestellt. www.geogebra.org/3d/y6r3949e Die Frage ist wie gross ist der Abstand von Punkt I, und zur X/Y-Ebene. |
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Reife Leistung, fast zuviel für den Anfang... Ich dachte ehr an die Darstellung der Ausgangssituation, um dann die Aktionen zu rechnen. Mal schauen, was ich aus der Zeichnung herauslesen kann. Wir haben einen Kreis Ko((0,0,0),1) der um xAchse und um yAchse Winkel a,b gedreht wird. Kx=Drehe(Ko,a,xAchse) Ky=Drehe(Ko,b,yAchse) Kx geschnitten Ky —> C,D Dann kommen A und B´´, das sind wohl Achsenpunkte von Ko, die die Drehungen Kx,Ky mitgemacht haben, Mittelpunkt E. Dann berechnest Du F, der eigentlich als C bereits bekannt ist. Dann ist e= Ebene(F oder C, E,D) Der Kreis g entspricht wohl Ko und GA“B“ sind Achsenpunkte von Ko. Jetzt beißt es aus. Wo kommen H und I her? Grundsätzlich kann ich das analytisch rechnen. Kreise sind Vektorgleichungen, Ebenen in Koordinatengleichungen, Drehungen sind Matrizen. Was sind die Ausgangsdaten? Um Deine Frage zu beantworten. Die Abstände zur xy-Ebene (z=0) sind die z-Koordinaten der Punkte I,J,K... Du suchst aber wohl eine möglichst kompakte Formel oder Rechenweg, um aus Deinen Ausgangsdaten diese Ergebnisse zu erhalten? |
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Die Ausgangsdaten ist der Radius des Kreises und die Punkte a und Die Punkte und I kommen vom gleichseitigen Dreiecks welches im Kreis befindet. Ich brauche die z-Koordinaten der Punkte I,J,K. und y-Koordinaten sind bereits bekannt) Die Formel muss nicht unbedingt kompakt sein, aber mit einem Standard Taschenrechner berechnet werden. |
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Hallo, ich sitze gerade an Deiner Konstruktion und rätsele immer noch an dem Start-Bild. Was ich bisher hab siehe Bild. Ko(t):=((r * sin(t)), (r * cos(t)), 0) K_x(t):=((r * sin(t)), ((r * cos(a)) * cos(t)), ((r * cos(t)) * sin(a))) K_y(t):=(((r * cos(b)) * sin(t)), (r * cos(t)), (((-r) * sin(b)) * sin(t))) g_{x,y}:=(((-t) * cos(b) / sin(b)), (t * cos(a) / sin(a)), t) g_{x,y} ist die Schnittgerade der gedrehten Kreise K_x, K_y Im Bild sind auch die Ebenen E_x, E_y in denen die Kreise liegen - brauchen wir die noch? Die Schnittpunkte der Kreise sind D_1:=(r*(sin(a)*cos(b))/sqrt(cos(a)^2*sin(b)^2+sin(a)^2),-r*(cos(a)*sin(b))/sqrt(cos(a)^2*sin(b)^2+sin(a)^2),-r(sin(a)*sin(b))/sqrt(cos(a)^2*sin(b)^2+sin(a)^2)) D_2:=(-r*(sin(a)*cos(b))/sqrt(cos(a)^2*sin(b)^2+sin(a)^2),r*(cos(a)*sin(b))/sqrt(cos(a)^2*sin(b)^2+sin(a)^2),r*(sin(a)*sin(b))/sqrt(cos(a)^2*sin(b)^2+sin(a)^2)) -können ggf. noch vereinfacht werden, wenn man genauer hinschaut? Wenn Du die Gleichungen in GeoGebra (besser Clasic) eingibst und die Slider für r,a,b anlegst hast Du eine Konstruktion die in Abhängigkeit der 3 Variablen darstellbar ist. Die Drehwinkel und Radius können frei gewählt werden. Wie ist das mit dem gleichseitigen Dreieck wo liegt das ursprünglich, macht das die Drehungen mit? Wie entsteht Deine Ebene E jetzt? www.geogebra.org/3d/rajhq3qm  |
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Hallo, Das gleichseitige Dreieck hat den selben Umkreis wie und es bleibt auf der Ursprungs Ebene (x,y-Ebene). Eine Spitze des Dreieckes liegt auf der X-Achse. Die neue Ebene, welche hinzu kommt ist die, die den Punkt und schneidet. ensteht dadurch das Punkt A und gleich weit von Punkt und entfernt sind und in der mitte von Punkt A und steht. Ich habe die Punkte in dein Schema ergänzt die gelben Linien sollten gleich gross sein. www.geogebra.org/3d/kacfqqth |
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Hm, ich denke den Punkt C bekomme ich einfacher, heisst D_3. Damit stimmt die Konstruktion mit Deinem Erstlings-Werk überein, wenn man r=1, a=0.6 und b=-0.4 einstellt - Du hast den Winkel b in die falsche Richtung gedreht... So, das gleichseitige Dreieck D_{ABC}=AoBoCo hab ich in der xy-Ebene eingebaut und die Ebene Exy geht durch D_1,D_2,D_3 also quasi InterKippKreise. D_3:=((r + (r * cos(b))) / 2, 0, ((-r) * sin(b) / 2)) Exy:=((cos(a)*cos(b)+cos(a))*sin(b)*r^2*z-sin(a)*sin(b)*r^2*y+cos(a)*sin(b)^2*r^2*x)/sqrt(cos(a)^2*sin(b)^2+sin(a)^2)=0 Stimmt das jetzt mit Deiner 3D-Scene überein? Update für Link File (oben): Wat nu.. |
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Hallo, Ja die 3D-Scene stimmt. Das letzte was mir nun fehlt, wäre der Abstand von Ao,Bo und Co zu der Ebene Exy (z-Koordinaten). Eine zusätzliche frage hatte ich noch, sie ist aber ein wenig persönlicher und muss nicht beantwortet werden. Was hast du für eine Schule mit welchem Abschluss absolviert, das die Aufgabe dir so leicht fällt? |
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Hallo, nun, das ist relative einfach, wenn man es net selber rechnen muss ;-). Wir nehmen die HesseNormalform von Exy HNE(x,y,z):=((cos(a)*cos(b)+cos(a))*sin(b)*z-sin(a)*sin(b)*y+cos(a)*sin(b)^2*x)/(sqrt(2*cos(a)^2*cos(b)+cos(a)^2+1)*abs(sin(b))) die liefert für einen Punkt P=(x,y,z) den Abstand. z.B. für Ao dAo=HNE(r,0,0) dAo=((r * sin(b)^(2)) * cos(a) / ((sqrt(cos(a)^(2) + ((2 * cos(a)^(2)) * cos(b)) + 1) * abs(sin(b))))) -> 0.29 Analog für die anderen Punkte Bo, Co. Hab den Link-File oben upgedatet. dBo=((((((-1)) / 2 * r) * sin(b)^(2)) * cos(a)) - (((sqrt(3 / 4) * abs(r)) * sin(a)) * sin(b))) / ((sqrt(cos(a)^(2) + ((2 * cos(a)^(2)) * cos(b)) + 1) * abs(sin(b)))) dCo=((((((-1)) / 2 * r) * sin(b)^(2)) * cos(a)) + (((sqrt(3 / 4) * abs(r)) * sin(a)) * sin(b))) / ((sqrt(cos(a)^(2) + ((2 * cos(a)^(2)) * cos(b)) + 1) * abs(sin(b)))) Abstand heißt in dem Fall: Abstand senkrecht zur Ebene Exy - hast Du das gemeint? Wenn Du senkrecht zur xy-Ebene messen willst musst Du eine senkrechte Gerade durch Ao mit der Ebene Exy schneiden - is noch umständlicher. Meld Dich nochmal wenn das ja... Die Berechnung senkrecht zur xy-Ebene steht unter zAo, zBo, zCo im Link-File. Nachtrag: Die Ebene Exy macht mir Sorgen. Die Definition über Abstände (Deine gelben Linien) hat den Nachteil, dass es mehrere Lösungen, Punkte auf dem Kreis gibt, die die Bedingung erfüllen - das macht die Lösung anfällig. Ich hätte noch eine andere Idee (is aber aweng knifflig in der Umsetzung), deshalb die Frage, kannst Du die SOLL-Lage der Ebene beschreiben? Kannst Du überprüfen, ob die Ebene Exy für große Winkel a,b>pi/2 noch den Anforderungen genügt? Warum fällt mir sowas leicht, weil ich es net selber rechnen muss. GeoGebra verfügt auch über ein CAS, das die Rechnungen im handwerklichen Teil abarbeitet. Ich hab mal Mathe studiert, im letzten Jahrhundert und beschäftige mich gerade mit der Anwendung GeoGebra CAS - aus Interesse und weil ich wissen will wie und was man damit machen kann. Es würd mich schon interessieren was Du mit den Berechnungen anfangen willst - kann Du noch was dazu sagen? |
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Hallo, Danke viel mals für deine Hilfe es hat nun geklappt. Die Daten meines CAD entsprechen deinen Formeln. die Winkel werden nie grösser sein als (maximal rad) minus Winkel funktionieren auch. Die Formel verwende ich um die Daten eines Joysticks, welche nur 2 Achsen besitzt a und für die drei Motoren (gleichseitiges Dreieck an den Eckpunkten), eines Roboter Arm zu konvertieren. Im Anhang findest du ein Bild des Roboter Arms und im folgenden Link die Bewegung eines Roboter Segmentes, viel leicht erkennst du dAo,dBo und dCo ;-) youtu.be/LO_N00eTLVM Nochmals vielen Dank.  |
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Also ich bin unsicher. Die Version, die auf dem Server liegt, Exy über Abstände berechnet wandert aus der winkelhalbierenden Ebene zwischen den Kreisebenen aus. Ich weißt net, ob das so sein soll - der Unterschied ist nicht sehr groß bei kleinen Winkeln. Im Bild oben die Version, die auf dem Server liegt - unten eine Vektorversion, die Exy in der Winkelhalbierenden zwischen den Kreisebenen hält. Differenzen 0.04...0.02! Wenn Du dAo,dBo und dCo verwendest, dann misst Du den Abstand senkrecht zur Exy-Ebene - ist das korrekt? Nicht senkrecht zur xy-Ebene (die z-Koordinate), der Abstand steckt in zAo, zBo, zCo.... Ansonsten viel Erfolg, war eine interessante Aufgabe, darf ich jetzt sagen, dass ich bei der Konstruktion eines Roboterarms mitgewirkt habe :-)... www.geogebra.org/resource/gkekupsk/nMOX2oT4uFRrHDgi/material-gkekupsk.png Das ist allerdings die Version mit der stabilisierten Ebene in der Winkelhalbierenden und mit Abständen senkrecht zur Dreiecksebene  |
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