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Kreisgleichung: Ableitung, Integral

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Funktion, Integral, Kreisgleichung

grooc aktiv_icon

11:21 Uhr, 08.12.2008

Hallo

Ich suche die allgemeine Ableitung bzw. Integral der Kreisgleichung:

Mittelpunkt

: (m | n)

k : {(x - m)}^{2} + {(y - n)}^{2} = r^{2}

k (x) = \pm \sqrt{r^{2} - {(x - m)}^{2}} + n

gesucht:

K (x); k' (x)

k' (x) = \pm \frac{2 \cdot (x - m)}{2 \cdot \sqrt{r^{2} - {(x - m)}^{2}}} = \pm \frac{x - m}{\sqrt{r^{2} - {(x - m)}^{2}}}

das

\pm

entfällt ja je nachdem welche Seite des Kreises man betrachtet.

Bei der Aufleitung habe ich aber richtig Probleme!
Ich versuchs mal:

K (x) = n \cdot x + c \pm \frac{2}{3 \cdot 2 (x - m)} \cdot {(r^{2} - {(x - m)}^{2})}^{\frac{3}{2}}

K (x) = \pm \frac{1}{3 \cdot (x - m)} \cdot {(r^{2} - {(x - m)}^{2})}^{\frac{3}{2}} + n \cdot x + c

Stimmt das??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
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Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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MBler07 aktiv_icon

18:23 Uhr, 08.12.2008

Hi

"Stimmt das??"
Berechne doch einfach mal die Ableitung davon. Auf was kommst du?

Die Stammfunktion der allgemeinen Kreisgleichung berechnset du über Substitution:

x - m = r sin (u)

d x = r cos (u) d u

\to F (u) = \int \sqrt{r^{2} - r^{2} {sin}^{2} (u)} \cdot r cos (u) d u

= r^{2} \int {cos}^{2} (u) d u = r^{2} \int \frac{1}{2} (1 - cos (2 x)) d u

= \frac{1}{2} r^{2} [u - \frac{1}{2} sin (2 u)]

\to F (x) = \frac{1}{2} r^{2} (a r c sin (\frac{x - m}{r}) - \frac{1}{2} sin (2 a r c sin (\frac{x - m}{r}))

Grüße

grooc aktiv_icon

21:15 Uhr, 09.12.2008

geht das ganze auch von meiner gleichung aus? da muss man doch nicht substituieren oder?
Das mit sin usw finde ich sehr unübersichtlich. Daher die Nachfrage.

Ach und ich komme vom integral wieder auf die Ausgangsfunktion. Aber das muss ja nichts heißen.

MBler07 aktiv_icon

21:25 Uhr, 09.12.2008

"Ach und ich komme vom integral wieder auf die Ausgangsfunktion."
Unter Anwendung der hier benötigten Quotientenregel?!

Und nein ich kenne keinen anderen Weg. Vermutlich kann man meine Stammfunktion noch über irgendwelche trigonometrischen Gesetze vereinfachen wenn ich mir die Integraltafel so angucke.

grooc aktiv_icon

21:57 Uhr, 09.12.2008

OK ich sehe es jetzt ein.

Aber die Ableitung stimmt so weit oder?

MBler07 aktiv_icon

22:10 Uhr, 09.12.2008

Nein. Ist aber nur ein kleiner Fehler:
Im Nenner heißt es

- (x - m) = m - x

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