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Nullstellen einer allgemeinen kosinusfunktion

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Funktionen

Tags: Allgemeine Kosinusfunktion, Funktion, Kosinus, Trigonometrische Funktionen

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14:40 Uhr, 29.07.2018

Ich bin gerade dabei die Nullstellen der folgenden Funktion zu berechnen:

f (x) = - 2 \cdot cos (3 \cdot x - 2 \cdot π)

f (x) = 0

a) - 2 \cdot cos (3 \cdot x - 2 \cdot π) = 0

b) 3 \cdot x - 2 \cdot π = \frac{π}{2} + π \cdot k

c) 3 \cdot x = \frac{5}{2} \cdot π + π \cdot k

d) x_{k} = \frac{5}{6} \cdot π + \frac{π \cdot k}{3}

Warum muss ich an der Stelle

b)

meiner Rechnung noch

π \cdot k

addieren ?
Müsste ich nciht einfach das

x

ausrechnen und zu der Nulstelle

2 \cdot π

addieren weil die funktion periodisch ist?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Additionstheoreme
Rechenregeln Trigonometrie
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

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Roman-22

14:47 Uhr, 29.07.2018

>

Warum muss ich an der Stelle

b)

meiner Rechnung noch π⋅k addieren ?
Das hat einerseits mit der

2 π

-Periodizität der Kosinusfunktion zu tun und andereseits mit den 2 Lösungen, die die Gleichung

cos (x) = a

innerhalb einer Periode idR hat.

>

Müsste ich nciht einfach das

x

ausrechnen und zu der Nulstelle 2⋅π addieren weil die funktion periodisch ist?
Ja, das wäre aber nur die halbe Wahrheit, weil es innerhalb einer Periode

2 π

eben zwei Nullstellen gibt. Die Nullstellen wiederholen sich im Abstand

π

.
Generell hat ja jede Gleichung

cos x = a < 1

innerhalb einer Periode zwei Lösungen (aber nur für

a = 0

im Abstand

π)

.

Nehmen wir die Gleichung

cos (x) = \frac{1}{2}

Eine Lösung, die du auswendig wissen solltest ist

x = \frac{π}{3}

und das ist auch die, die dein TR ausspuckt, wenn du

a r c c o s (\frac{1}{2})

berechnest.
Die

a r c c o s -

Funktion ist ja definitionsgemäß auf den Bereich

x \in [0; π]

eingeschränkt worden, damit man Mehrdeutigkeiten vermeidet.
Das ist ähnlich wie bei der Quadratwurzel, da ja auch per definitionem in

ℝ

auf positive Werte (oder Null) beschränkt wird, damits eben eine eindeutige Relation, also eine Funktion wird.
So ist

\sqrt{4} = + 2

und sonst nix, aber die Gleichung

x^{2} = 4

hat die Lösungen

x_{1} = + \sqrt{4} = + 2

und

x_{2} = - \sqrt{4} = - 2

.

Und ähnlich ist es auch bei der Gleichung

cos (x) = \frac{1}{2}

.
Eine Lösung ist

x = a r c o s \frac{1}{2} = \frac{π}{3},

aber eine weitere ist beim Kosinus immer die Ergänzung auf

2 π,

also ist auch

x = \frac{5 π}{3}

eine Lösung.

Also Achtung! Diese kompakten Schreibweisen gibt es nur, wenn sin oder

cos

nullgesetzt werden.
Wenn man sich nicht auf den Bereich

[0;

2pi

[

kapriziert kann man als zweite Lösung beim

cos

auch einfach den negativen Wert, also

- \frac{π}{3}

nehmen (kontrolliere zB im Einheitskreis, dass das ein äquivalenter Winkel ist).
Somit hätten wir also innerhalb einer Periode

2 π

zwei Lösungen der Gleichung.
Und weil Kosinus

2 π

-periodisch ist, dürfen wir zu jeder der beiden Lösungen beliebige ganzzahlige Vielfache von

2 π

addieren (oder natürlich auch subtrahieren).
Am kompaktesten schreibt man die Lösungen hier mit

x = \pm \frac{π}{3} + k \cdot 2 π

mit

k \in ℤ

an.

[

Anm.: beim Sinus kann man es nicht so kompakt schreiben, weil da ja die "zweite" Lösung innerhalb einer Periode die Ergänzung des arcsin-Wertes auf

π

ist]

So, wie sieht das nun bei deinem Beispiel aus. Du hast im Wesentlichen die Gleichung

cos (α) = 0

vorliegen.
Wie vorhin ist eine Lösung

a r c c o s 0 = \frac{π}{2}

und als "zweite" Lösung kannst du entweder

\frac{3 π}{2}

oder

- \frac{π}{2}

nehmen.
Zu jeder der beiden Lösungen kannst du wieder beliebige Vielfache von

2 π

addieren und könntest die Lösung zB als

x = \pm \frac{π}{2} + k \cdot 2 π

mit

k \in ℤ

anschreiben.
Wenn du dir diese Lösungen aber im Einheitskreis ansiehst, erkennst du, dass sie sich hier zufälligerweise im Abstand

π

wiederholen und dass man es daher kompakter als

x = \frac{π}{2} + k \cdot π

mit

k \in ℤ

schreiben kann.
Andere Sichtweise: Es sollte bekannt sein, dass sich die Nullstellen der Kosinusfunktion im Abstand

π

wiederholen. Daher reicht es, eine zu berechnen (arccos) und beliebig oft

π

zu addieren um alle zu erhalten.

Ähnlich ist es ja auch beim Sinus.

sin (x) = \frac{1}{2}

hat die Lösungen

x = \frac{π}{6} + k \cdot 2 π

und

x = (π - \frac{π}{6}) + k \cdot 2 π = \frac{5 π}{6} + k \cdot 2 π,

jeweils mit

k \in ℤ

.

Lautet die Gleichung aber

sin (x) = 0,

kann man die Lösung auch kompakt als

x = k \cdot π

mit

k \in ℤ

schreiben.

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17:24 Uhr, 30.07.2018

Danke für die sehr ausführliche Antwort, das war bisher sehr hilfreich!

Mir gefällt die Methode wo man sagt das sich die Nullstellen beim vielfachen von der halben Periodenlänge sich widerhollen.

Eine Beispielrechnung:

f (x) = 0,8 \cdot sin (1,5 \cdot x - π)

a) 0,8 \cdot sin (1,5 \cdot x - π) = 0

b) sin (1,5 \cdot x - π) = 0

c) 1,5 \cdot x - π = 0

d) x = \frac{π}{1,5} = \frac{2}{3} \cdot π

e)

Die Periodenlänge rechne ich aus mit

T = \frac{2 \cdot π}{b} = \frac{2 \cdot π}{1,5} = \frac{4}{3} \cdot π

Lösung:

x_{k} = \frac{2}{3} \cdot π + \frac{T}{2} \cdot k

x_{k} = \frac{2}{3} \cdot π + \cdot \frac{2 \cdot π}{3} \cdot k

Mit dieser Gleichung kann ich nun sehr schön die Nullstellen berechnen.

Jetzt einige Fragen dazu:
1. Frage:
Ist es nur bei einer allgemeinen Sinus -und Kosinusfunktion so dass sich die Nullstellen sich bei exakt der Hälfte der Periodenlänge widerhollen?
Also Funktionen der Form:

f (x) = a \cdot sin (b \cdot x + c) + d

Oder auch bei Funktionen welche

z . B

. so eine Form besitzen?

f (x) = {cos (x)}^{2} - 0,5 \cdot cos (x) + 0,5

2.Frage:
Ich hatte bei jemand anderen gesehen wie die Funktion

f (x) = 0,8 \cdot sin (1,5 \cdot x - π)

etwas "anders" gelöst wurde, und zwar folgendermaßen:

An der Stelle

1,5 \cdot x - π = 0 + π \cdot k

hier wurde einfach

π \cdot k

dazu addiert, könnte mir jemand bitte Ausführlich erklären was der Grund dafür nochmal ist? Ich nehme an hier wurde angenommen das die Nullstellen einen Abstand von

π

voneinander haben. Wenn das der Fall ist wieso kann ich nicht eine Nullstelle ausrechnen und dann erst am Ende

π \cdot k

dazu addieren?

Roman-22

01:36 Uhr, 31.07.2018

>

Mir gefällt die Methode wo man sagt das sich die Nullstellen beim vielfachen von der halben Periodenlänge sich widerhollen.
Funktioniert so aber nur, wenn sin oder

cos

Null sein soll.

>

c)1,5⋅x−π=0
Das erweckt in dieser Schreibweise den Eindruck, das daraus die einzige Lösung sprießt.
Besser wäre es, gleich richtig

\frac{3}{2} x - π = k' \cdot π

mit

k' \in ℤ

zu schreiben.
Wenn du das dann umformst ergeben sich deine folgenden Punkte ganz von selbst.

\to \frac{3}{2} x = k' \cdot π + π = k \cdot π

mit

k \in ℤ

\to x = k \cdot \frac{2 π}{3}

mit

k \in ℤ

>

xk=23⋅π+⋅2⋅π3⋅k
Das kannst

d u

dann noch zu

x_{n} = \frac{2 π}{3} \cdot n

vereinfachen mit

n \in ℤ

(n = k + 1)

>

Ist es nur bei einer allgemeinen Sinus -und Kosinusfunktion so dass sich die

>

Nullstellen sich bei exakt der Hälfte der Periodenlänge widerhollen?
Ein "l" reicht bei "wiederholen", dafür wäre ein "e" nett!

>

Also Funktionen der Form: f(x)=a⋅sin(b⋅x+c)+d
NEIN!!!!!!
Wenn

d

nicht Null ist, dann liegen hier zwar immer noch die Wendepunkte im Abstand der halben Periode, aber das sind dann nicht mehr die Nullstellen!!

>

Oder auch bei Funktionen welche

z . B

. so eine Form besitzen?

>

f(x)=cos(x)2−0,5⋅cos(x)+0,5
Diese Funktion besitzt überhaupt keine reellen Nullstellen.

lass dir doch sicherheitshalber deine Funktionen von irgend einem Gratisprogramm plotten, dann kannst du das doch selbst gleich visuell kontrollieren und dir die Frage selbst beantworten.

>

Ich hatte bei jemand anderen gesehen wie die Funktion f(x)=0,8⋅sin(1,5⋅x−π) etwas "anders" gelöst wurde, und zwar folgendermaßen:
Gut möglich - viele Wege führen nach Rom.

>

An der Stelle 1,5⋅x−π=0+π⋅k

>

hier wurde einfach π⋅k dazu addiert,
Das hab ich in meiner vorherigen Antwort ja auch schon gemacht und ausführlich erklärt warum, dachte ich. Und gerade eben hab ichs oben ja auch vorgeschlagen.
Wie in der vorigen Antwort erläutert hat die Gleichung

sin (α) = 0

die Lösungen

α = k \cdot π

mit

k \in ℤ

Warum steht in der vorherigen Antwort und dort steht auch, das

... = 0

ein Sonderfall ist und was es zu beachten gilt, wenn zb

sin (α) = 0,5

zu lösen ist.
Und jetzt setze oben halt für

α = 1,5 x - π

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15:17 Uhr, 31.07.2018

Danke für die Antwort, ich habe hier ein Beispiel gerechnet:

f (x) = 2 \cdot sin (2 \cdot x) - 1

2 \cdot sin (2 \cdot x) - 1 = 0

sin (2 \cdot x) = \frac{1}{2}

y_{0} = 2 \cdot x

sin (y_{0}) = \frac{1}{2}

y_{0} = \frac{1}{6} \cdot π

einsetzen in

y_{0} = 2 \cdot x

dann folgt:

\frac{1}{6} \cdot π = 2 \cdot x_{1}

Erste Nullstelle:

x_{1} = \frac{1}{12} \cdot π

Die Funktion

f (x)

ist periodisch mit

T = \frac{2 \cdot π}{b} = \frac{2 \cdot π}{2} = π

Für die Nullstelle

x_{1}

gilt:

x_{1} = \frac{1}{12} \cdot π + π \cdot k

Jetzt bin ich mir nicht so sicher wie ich auf andere Nullstellen kommen könnte...
Im Internet habe ich folgende Formel gefunden wie ich eine andere Nullstelel ausrechnen kann wenn bereits eine bekannt ist:

x_{2} = - \frac{2 \cdot c}{b} + \frac{π}{b} - x_{1}

In meiner Funktion ist

c = 0

und

b = 2

x_{2} = \frac{π}{2} - \frac{1}{12} \cdot π = \frac{5}{12} \cdot π

Für die Nullstelle

x_{2}

gilt:

x_{2} = \frac{5}{12} \cdot π + π \cdot k

Ich denke die Berechnung hat gut funktioniert, allerdings würde ich gerne verstehen wie man diese Formel

x_{2} = - \frac{2 \cdot c}{b} + \frac{π}{b} - x_{1}

herleiten kann bzw. woher die kommmt.

1. Frage: Herleitung der Formel

x_{2} = - \frac{2 \cdot c}{b} + \frac{π}{b} - x_{1}

2. Frage: Ist das richtig das meine beide Nulstellen immer im ersten Quadranten liegen?

Danke...

ledum aktiv_icon

15:35 Uhr, 31.07.2018

Hallo
mit Nullstellen im 1. Quadranten, meinst du einfach positive x?
Statt irgendwelche Formeln zu lernen , zeichne dir einfach mal die

sin (x)

Funktion zwischen 0 und

π

auf, dann siehst du, dass jeder Wert zwischen 0 und 1 zwei mal angenommen wird, weil die sin Funktion symmetrisch zu

x = \frac{π}{2}

ist.
ist also

sin (x) = a

für

x = b

dann ist es auch für

x = π - b

so.
Gruß ledum

HeroSanjA aktiv_icon

15:53 Uhr, 31.07.2018

Habe eben den Einheitskreis gezeichnet und jetzt sehe ich es.

sin (y_{o}) = \frac{1}{2}

y_{01} = \frac{1}{6} \cdot π

y_{01} = 2 \cdot x_{1}

x_{1} = \frac{1}{12} \cdot π + π \cdot k

y_{02} = π - y_{01} = \frac{6}{5} \cdot π

x_{2} = \frac{5}{12} \cdot π + π \cdot k

Jetzt verstehe ich es, ja Formeln lernen will ich nciht auswendig. Woltle jan ur wissen woher genau die genommen wurde :-D)

Danke für eure Hilfe.

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