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Ableitung der Umkehrfunktionen arcsinh und arccosh

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Ableitung, Cosh, Cosinus, Differentiation, sinh, Sinus, Umkehrfunktion

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nobipobi

nobipobi aktiv_icon

20:58 Uhr, 30.01.2015

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Hey, folgendes Problem. Ich sitze an einer Aufgabe, deren Fragestellung ich nicht verstehe und auch so nicht wüsste wie ich vorgehen soll:

"Die Abbildungen sinh und cosh sind wie folgt definiert sinh:x

\to \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}

und cosh:x

\to \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}

mit

x \in ℝ

Bestimmen Sie die Ableitung der Umkehrfunktionen arcsinh und arccosh. Zur Berechnung der Ableitung nutzen Sie den Zusammenhang, der sich aus der Berechnung von sin^2(x)-cos^2(x) ergibt."

Hierbei handelt es sich um eine Aufgabe aus einer Probeklausur von MA1.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
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Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
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Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

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Antwort

rundblick

rundblick aktiv_icon

22:46 Uhr, 30.01.2015

Antworten

.

y=arcsinh(x)

< = > x = sinh (y)

also

\frac{d x}{d y} = cosh (y) .

.

< = > .

.

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{cosh (y)} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}

..weil

{cosh}^{2} (y) = 1 + {sinh}^{2} (y)

ok?

nobipobi

nobipobi aktiv_icon

23:48 Uhr, 30.01.2015

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Danke, ist das richtig? Würde das als Lösungsweg reichen? (Anhang)

20150130_234343

Antwort

ledum

ledum aktiv_icon

13:00 Uhr, 31.01.2015

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Hallo
es fehlt, wie du von der vvorletzten Zeile zur letzten kommst. sonst ist alles richtig.
Gruss ledum

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