Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Herleitung d. Bewegungsgleichungen mit Integration

Herleitung d. Bewegungsgleichungen mit Integration

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Funktionsgleichung

Ableitungsfunktion

1. Ableitung

2. Ableitung

Stammfunktion

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Tags: Ableitung, Ableitungsfunktion, Funktionsgleichung, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Stammfunktion

Ihso92 aktiv_icon

22:49 Uhr, 08.10.2010

Hey Leute!

Ich versuche die Bewegungsgleichungen der Mechanik durch Integration und Differentiation herzuleiten.

Hab schon die ersten zwei.
Kann bitte mal jemand überprüfen ob das so stimmt (siehe Anhang)?

Ich brauche noch die letzte Bewegungsgleichung. Wie erhalte ich diese?
((v)^2-(v_o)^2=2ax)

Danke für die Hilfe im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Einführung Funktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Flächenberechnung und bestimmtes Integral
Hyperbeln
Integralfunktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableiten mit der Kettenregel

Wie leitet man mit der Kettenregel ab?

Wie leitet man verkettete Funktionen ab?

Ableiten mit der Produktregel

Wie leitet man mit der Produktregel ab?

Wie leitet man das Produkt zweier Funktionen ab?

Ableiten mit der Quotientenregel

Wie leitet man mit der Quotientenregel ab?

Wie leitet man den Quotienten zweier Funktionen ab?

Ableiten von Exponentialfunktionen

Wie leitet man Exponentialfunktionen ab?

Ableiten von Logarithmusfunktionen

Wie leitet man Logarithmusfunktionen ab?

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Ableitung der Umkehrfunktion einer Funktion

Wie leitet man die Umkehrfunktion einer Funktion ab?

Ableitung der trigonometrischen Funktionen

Wie lauten die Ableitungsfunktionen der Winkelfunktionen?

Wie lauten die Ableitungsfunktionen der trigonometrischen Funktionen?

Ableitung einer Polynomfunktion

Wie bestimmt man die Ableitung einer Polynomfunktion?

Ableitung einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten

Wie bestimmt man die Ableitung einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten?

Ableitung einer Summe zweier Funktionen

Wie bestimmt man die Ableitung einer Summe zweier Funktionen?

Ableitung eines Vielfachen einer Funktion

Wie bestimmt man die Ableitung eines Vielfachen einer Funktion?

Differenzenquotient berechnen

Wie wird der Differenzenquotient berechnet?

Differenzialquotient berechnen

Wie wird der Differenzialquotient berechnet?

Funktionsgleichung der Exponentialfunktion

Wie stellt man die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion auf?

Funktionsgleichung einer Parabel bestimmen

Wie bestimmt man die Funktionsgleichung einer Parabel?

Funktionsgleichung einer Potenzfunktion ermitteln

Wie ermittelt man zu gegebenen Eigenschaften einer Funktion die Funktionsgleichung?

Graph der 1.Ableitung und der Ausgangsfunktion

Wie hängt der Graph der 1.Ableitung mit dem Graph der Ausgangsfunktion zusammen?

Graphen der 1. und 2.Ableitung und Graph der Ausgangsfunktion

Wie hängen die Graphen der 1. und 2.Ableitung mit dem Graph der Ausgangsfunktion zusammen?

Herleitung: Ableitung der Kosinusfunktion

Wie leitet man die Kosinusfunktion ab?

Herleitung: Ableitung der Sinusfunktion

Wie leitet man die Sinusfunktion ab?

Herleitung: Ableitung der Tangensfunktion

Wie leitet man die Tangensfunktion ab?

Quadratische Ergänzung bestimmen

Gibt es einen schnellen Weg die quadratische Ergänzung zu bestimmen?

Scheitelpunkt einer Parabel bestimmen

Wie bestimmt man den Scheitelpunkt einer Parabel?

Stammfunktion einer Exponentialfunktion

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer Exponentialfunktion?

Stammfunktion einer Logarithmusfunktion

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer Logarithmusfunktion?

Stammfunktion einer Polynomfunktion

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer Polynomfunktion?

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer ganzrationalen Funktion?
Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer Potenzfunktion?

Stammfunktion einer gebrochen-rationalen Funktion

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer gebrochen-rationalen Funktion?

Steckbriefaufgaben (mit Ableitung)

Wie löst man Steckbriefaufgaben?

Verlauf einer Potenzfunktion

Wie kann man an der Funktionsgleichung erkennen, wie eine Potenzfunktion ungefähr aussieht?

Verschiebung einer Normalparabel

Was passiert wenn man eine Normalparabel in

x

oder y-Richtung verschiebt?

Was passiert mit dem Schaubild einer Normalparabel wenn man die Funktionsgleichung verändert?

Zu einer Parabel die Funktionsgleichung bestimmen

Wie bestimmt man zu einer gegebenen Parabel die Funktionsgleichung?

QPhma aktiv_icon

01:41 Uhr, 09.10.2010

Hi Ihso92,

Deine Herleitung stimmt im wesentlichen. Ein Fehler ist in der Schreibweise der Integration von

d v = a \cdot d t

. Einzusätzliches Differential

d t

darfst Du nicht unter das Integralzeichen schreiben. Du hast ja schon auf beiden Seiten der Gleichung ein Differential. Also einfach nur auf beiden Seiten das Integralzeichen davor schreiben.

\int_{v (0)}^{v (t)} d v = \int_{0}^{t} a \cdot d t

Als Grenzen im linken Integral kannst Du dann natürlich nicht 0 und

t

benutzen, sondern musst die Geschwindigkeiten nehmen, die zu diesen Zeiten gehören.
Zum Ausrechnen des rechten Integrals ist noch die Bermerkung erforderlich, dass a einen konstanten Wert hat. Das ist nicht selbstverständlich, wenn Du mit der Definition von a als Ableitung der Geschwindigkeit anfängst. Denke an die Bewegung eines Autos. Da ist es durchaus denkbar, dass die Geschwindigkeit eine recht komlizierte Funktion der Zeit ist und dann die Ableitung keineswegs konstant ist. Die Einschränkung auf a=const. stellt einen Modellfall dar, die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit. Ohne die Einschränkung könnte man nicht so einfach rechnen.

Jetzt zu der dritten Gleichung. Das ist eine Zusammenfassung der ersten und der zweiten.
Die dritte Gleichung zeichnet sich dadurch aus, dass die Zeitvariable nicht mehr vorkommt. Um auf die dritte Gleichung zu kommen, musst Du also eine der beiden ersten nach der Zeit auflösen und mit dem Ergbnis dann in der anderen alle Variablen

t

ersetzen. Am besten löst Du das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz nach

t

auf. Das ist einfacher als das Weg-Zeit-Gesetz aufzulösen.

Ihso92 aktiv_icon

07:34 Uhr, 09.10.2010

ja danke
des schaut ja gut aus

wie lange ist den die herleitung wenn a nicht konstant ist?

Ihso92 aktiv_icon

08:15 Uhr, 09.10.2010

Stimmt die Herleitung jetzt?

(siehe Anhang)

DerCommander aktiv_icon

09:40 Uhr, 09.10.2010

an der stelle

{(\frac{v - v_{0}}{a})}^{2}

ist der fehler.

{(v - v_{0})}^{2}

ist NICHT gleich

v^{2} - v_{0}^{2}!!!

Ihso92 aktiv_icon

10:08 Uhr, 09.10.2010

ich checks nicht

jetzt kommt wieder nur mist raus

DerCommander aktiv_icon

10:14 Uhr, 09.10.2010

das stimmt aber mathematisch so

Ihso92 aktiv_icon

10:16 Uhr, 09.10.2010

aber die Bewegungsgleichung lautet doch

$v² (x) - (v_{0}) ² = 2 a x$ ?

Wie erhalte ich diese Formel?

DerCommander aktiv_icon

10:23 Uhr, 09.10.2010

eine derartige bewegungsgleichung kenne ich nicht. ist ja auch nur ein einsetzen von gleichung 1 "in" 2. also nicht wirklich essentiell. welchen physikalischen zusammenhang soll die die letzte gleichung liefern?
ah, das geschwindigkeits-orts gesetz. also wenn du in der herleitung dafür keine anfangsgescgwindigkeit und keine anfangsstrecke annimmst, musst du das auch für alle gleichungen annehmen, die du dazu umstellst und einsetzt.
ist denn die gleichung irgendwo in der form, wie du sie haben möchtest niedergeschrieben? ich hab diese wirklich noch nicht iwo gesehen, wobei ich auch kein physiker bin.

Ihso92 aktiv_icon

11:38 Uhr, 09.10.2010

hab ein buch

da steht drin:

"Durch Elimination von t aus der 1. und 2. Bewegungsgleichung erhält man daraus:

$v² (x) - v_{0} ² = 2 a x$ "