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L'Hospital (x+sin(x))/(x-sin(x)) gegen unendlich

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Ableitung, Grenzwert, L'Hopital, lim, Sinus, unendlich

Emilia200498 aktiv_icon

18:53 Uhr, 07.01.2018

Hallo,
es geht um die Anwendung der Regel von L'Hospital. Ich habe das Vorgehen im Grunde verstanden, komme aber bei den Aufgaben dann nicht weiter.
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand bei diesen Beispielen weiterhelfen könnte bzw. mir das vorgehen noch einmal verdeutlichen.

(a)

lim [x \to \infty] \frac{x + sin (x)}{x - sin (x)}

mit der Form

\frac{\infty}{\infty}

(b)

lim [x \to 0] \frac{x^{2} \cdot sin (\frac{1}{x^{2}})}{x}

mit der Form

\frac{\infty}{\infty}

Die Ableitungen helfen mir irgendwie nicht wirklich, und die anderen Aufgaben werden nicht einfacher. Vielleicht kann mir ja jemand an einem Beispiel von den beiden erklären, wie ich dort vorzugehen habe.

Liebe Grüße.

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\frac{\infty}{\infty}

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Respon

19:14 Uhr, 07.01.2018

Und ? Hast du für

a)

schon eine Idee ?

Emilia200498 aktiv_icon

19:18 Uhr, 07.01.2018

Wenn ich bei

(a)

zunächst die Ableitung bilde, komme ich auf

\frac{1 + cos (x)}{1 - cos (x)},

wodurch ja zumindest das

x

verschwunden wäre. Jedoch weiß ich nicht, wie ich dort weiter machen soll.
Wir sollen (wenn durchführbar) die Regel von L'Hospital anwenden. Jetzt weiß ich nicht, ob das hier überhaupt möglich ist..

Respon

19:22 Uhr, 07.01.2018

Dein letzter Satz trifft den Kern. Schau dir mal bei Gelegenheit an, was man unter "bestimmt divergiert" bzw. "unbestimmt divergent" versteht.
Welche anderen Methoden sind noch möglich ?

ledum aktiv_icon

19:26 Uhr, 07.01.2018

Hallo

a)

dividiere Zähler und Nenner durch

x \neq 0

und

\frac{sin (x)}{x}

geht gegen 0 wegen

| sin (x) | \leq 1

2 b)

auch hier

- 1 \leq sin (\frac{1}{x^{2}}) \leq 1

Gruss ledum

Emilia200498 aktiv_icon

19:29 Uhr, 07.01.2018

Das heißt, es reicht zu erkennen, dass

cos (x)

unbestimmt divergent ist? Und kann ich jetzt darauf schließen, dass ich L'Hospital einfach nicht anwenden kann oder dass der Term allgemein keinen Grenzwert besitzt?

Ich wüsste nicht, welchen anderen Weg ich wählen könnte? Ich hatte auch schon überlegt, da bei der Anwendung von L'Hospital ja eine Bedingung bei